Passo a Passo: Cálculo Manual da Regressão Linear Simples

O MQO (Mínimos Quadrados Ordinários) é o método estatístico fundamental utilizado em econometria para estimar os parâmetros (os coeficientes $\beta$) de um modelo de regressão linear. Esse método é capaz de encontrar a melhor reta possível que passe entre os pontos dos dados que se encontrarão dispersos pela amostra. No exemplo a seguir, será usado os dados de vendas de televisores de uma empresa hipotética, e será observado que esses valores se encontram dispersos pelo plano. Tentará dessa forma, descobrir o melhor valor de venda desses televisores.

Passo a Passo: Como Calcular a Regressão Linear Simples

Para encontrar a equação de regressão simples $\hat{Q} = \beta_0 + \beta_1 P_i$ utilizando apenas os dados de preço ($P$) e quantidade vendida ($Q$), aplica-se quações algébricas diretas derivadas do método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

Passo 1: Tabela de Dados e Colunas Auxiliares

Filial ($i$)

TVs ($Q$)

Preço ($P$)

$P^2$

$P \cdot Q$

$1$

$120$

$\text{R\$ } 2.000{,}00$

$4.000.000$

$240.000$

$2$

$90$

$\text{R\$ } 2.500{,}00$

$6.250.000$

$225.000$

$3$

$150$

$\text{R\$ } 1.800{,}00$

$3.240.000$

$270.000$

$4$

$70$

$\text{R\$ } 2.800{,}00$

$7.840.000$

$196.000$

$5$

$130$

$\text{R\$ } 1.900{,}00$

$3.610.000$

$247.000$

SOMA ($\sum$)

$560$

$\text{R\$ } 11.000{,}00$

$24.940.000$

$1.178.000$

Com base nas $5$ filiais, organiza-se os dados e calcula-se os produtos necessários para as somatórias ($\sum$):

Passo 2: Cálculo das Médias Aritméticas

Média do Preço ($\bar{P}$): $\frac{11.000}{5} = 2.200$ (ou seja, $\text{R\$ } 2.200{,}00$)
Média da Quantidade ($\bar{Q}$): $\frac{560}{5} = 112$ unidades

Passo 3: Cálculo do Coeficiente Angular ($\beta_1$)

Fórmula:

$$\beta_1 = \frac{n \sum (P \cdot Q) - (\sum P)(\sum Q)}{n \sum P^2 - (\sum P)^2}$$

Substituindo os valores ($n = 5$):

Numerador: $(5 \times 1.178.000) - (11.000 \times 560) = 5.890.000 - 6.160.000 = -270.000$
Denominador: $(5 \times 24.940.000) - (11.000)^2 = 124.700.000 - 121.000.000 = 3.700.000$
Resultado: $\beta_1 = \frac{-270.000}{3.700.000} \approx -0{,}073$

Passo 4: Cálculo do Intercepto ($\beta_0$)

Equação:

$$\beta_0 = \bar{Q} - \beta_1 \bar{P}$$

Substituindo os valores:

$$\beta_0 = 112 - (-0{,}07297 \times 2.200) = 112 + 160{,}54 = 272{,}54$$

Equação Final Estimada:

$$\hat{Q} = 272{,}54 - 0{,}07P$$

A equação de regressão linear simples gerada ($\hat{Q} = 272{,}54 - 0{,}07P$) representa o comportamento estimado da demanda por televisores de $42$ polegadas com base exclusivamente no preço.

Na prática econômica e empresarial, cada componente dessa equação traz uma interpretação clara para as vendas:

O Intercepto ($272{,}54$): É o valor teórico de referência. Ele indicaria a quantidade estimada de televisores vendidos caso o preço do aparelho fosse zero (o que serve puramente como âncora matemática para posicionar a reta de ajuste no gráfico).

O Coeficiente Angular ($-0{,}07$): É a inclinação da reta e o parâmetro mais importante para a gestão. Ele nos diz que, para cada aumento de $\text{R\$ } 1{,}00$ no preço do televisor, a quantidade esperada de vendas diminui em média $0{,}07$ unidades (ou seja, um acréscimo de $\text{R\$ } 100{,}00$ no preço reduz as vendas em cerca de $7$ unidades).

Validação da Lei da Demanda: O sinal negativo ($-$) confirma empiricamente o princípio microeconômico fundamental de que existe uma relação inversa entre o preço de um bem e a quantidade que os consumidores desejam comprar.

Passo a Passo: Como Calcular a Regressão Linear Simples

Passo 1: Tabela de Dados e Colunas Auxiliares

Passo 2: Cálculo das Médias Aritméticas

Passo 3: Cálculo do Coeficiente Angular (\(\beta_1\))

Passo 4: Cálculo do Intercepto (\(\beta_0\))